В чем разница между Ветхим и Новым Заветом.

Начнем с того что Новый Завет был заключён именно «домом с Израиля и с домом Иуды» (Евр.8:8), а не  с язычниками. А вне Завета как мы знаем, спасения быть не может.  Три с половиной года от смерти Христа и до самого побиения Стефана камнями, проповедь Евангелия велась исключительно для евреев и все крещеные были из евреев .
Также мы видим, что Новый Завет отличается от Ветхого не Законом Божьим, потому как именно тот же самый закон Бог желает вложить в сердцеа верующих и в мысли их. (Евр.8:10).
Так чем же тогда отличается Новый Завет от Ветхого. Мы видим, так как обе стороны при заключении Завета одни и те же (Бог и народ Израиля), основание Завета одно и тоже (Закон Божий), то разница заключается именно в самом заключении, а именно в клятве Завета. 

Бог никогда не предлагал человеку Ветхий Завет, так как Он не может подсовывать нам ничего плохого или не совершенного.  Ветхий завет заключили люди. При заключении Завета в первый раз Бог сказал «Слушай Израиль постановления и законы, которые я языку сегодня в уши ваши выучите их и старайтесь исполнять их» (Втор.5:2). Бог не требовал от них безукоризненного исполнения заповедей, так как знал, что это невозможно, как невозможно сердечнику перенесшему инфаркт, подтасовать симптомы здорового сердца. А потому Бог сказал «стараетесь исполнять их».  Но люди в ответ на Божьи условия сказали Моисею «приступит и  слушай всё, что будет говорить тебе Господь Бог наш, и пересказывай нам всё что будет говорить тебе Господь Бог наш, а мы будем слушать и исполнять». (Втор.5:27).  Другими словами они пообещали Богу исполнить всё, что Он им предлагает. 
Но человек не в силах выполнить своих обещаний, а потому нарушая их, человек стал смотреть на Бога как на Судью карающего и избегать Его. Чтобы избавить их от клятвы исполнить закон, от клятвы закона, Христос должен был от их лица исполнить этот закон и освободить их от этой клятвы, чтобы потом предложить им лучший Завет. 
В Новом Завете, Сам Бог обещает нам спасти нас, если мы будем стараться соблюдать заповеди его. И Бог силен исполнить свои обещания. А потому согрешающий уже смотрит на Бога ни как на Судью карающего, а как на Того Кто может помочь ему стать способным соблюдать заповеди Бога, Как на друга и помощника и идет к Нему за помощью. 
Итак мы видим, что разница Ветхим и Новым Заветом, это разница в обещаниях, и эта разница заставляет нас по-разному смотреть на Бога и относиться к Нему. Это как разница между спасением своими делами: попытками оправдаться соблюдением заповедей по сравнению с оправданием по вере в обещания Бога.

 Кстати праведность  — это способность ходить в заповедях Господних, (как в одежде). 
А проповедь Евангелия действительно после побиения Стефана камнями была направлено к язычникам, чтобы они перестали быть язычниками, и уверовали в настоящего Бога.